人教版八年级数学上册《最短路径问题》轴对称PPT免费课件，共37页。
素养目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
探究新知
利用对称知识解决最短路径问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
问题1：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
问题2：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？
【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
利用平移知识解决造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
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